$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3 \cos x}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3 \cos x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\tan x$ を $\frac{\sin x}{\cos x}$ で置き換えます。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \sin x}{x^3 \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin x \cos x}{x^3 \cos^2 x}$$

次に、$\sin x$ を括り出します。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x (1 - \cos x)}{x^3 \cos^2 x}$$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ と $\lim_{x \to 0} \cos x = 1$ を利用できるように式を整理します。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ と $\lim_{x \to 0} \cos x = 1$ は明らかです。次に$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ を計算します。

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{x^2(1 + \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^2 x}{x^2(1 + \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2(1 + \cos x)} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \frac{1}{1 + \cos x} = 1^2 \cdot \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$$

したがって、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3 \cos x} = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1^2} = \frac{1}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$