頂点がx軸上にある二次関数$y = ax^2 + bx + c$が、2点$(0, 2)$と$(2, 2)$を通る時の、この二次関数を求めます。

1. 問題の内容

頂点がx軸上にある二次関数$y = ax^2 + bx + c$が、2点$(0, 2)$と$(2, 2)$を通る時の、この二次関数を求めます。

2. 解き方の手順

二次関数の頂点がx軸上にあるということは、頂点のy座標が0であることを意味します。

また、頂点がx軸上にあるとき、$y = a(x-p)^2$と表すことができます。この場合、頂点の座標は$(p, 0)$です。

ただし、この式は、2点を通る情報を代入するには不便なので、$y = ax^2 + bx + c$の形を用います。

点$(0, 2)$を通るので、$x=0$, $y=2$を代入すると、

$2 = a(0)^2 + b(0) + c$

$2 = c$

したがって、$c = 2$がわかります。

次に、点$(2, 2)$を通るので、$x=2$, $y=2$を代入すると、

$2 = a(2)^2 + b(2) + c$

$2 = 4a + 2b + c$

$c=2$を代入すると、

$2 = 4a + 2b + 2$

$0 = 4a + 2b$

$0 = 2a + b$

$b = -2a$

したがって、$y = ax^2 - 2ax + 2$となります。

頂点がx軸上にあるので、判別式$D = 0$となるはずです。

$D = (-2a)^2 - 4(a)(2) = 4a^2 - 8a = 4a(a-2) = 0$

$a = 0$または$a = 2$

$a = 0$のとき、$y = 2$となり二次関数にならないため、$a = 2$です。

$b = -2a = -2(2) = -4$

よって、$y = 2x^2 - 4x + 2$です。

$y = 2(x^2 - 2x + 1) = 2(x-1)^2$

頂点は$(1, 0)$なのでx軸上にあります。

3. 最終的な答え

$y = 2x^2 - 4x + 2$