多項式 $x^3 + ax^2 - x - 12$ を $x + 2$ で割ったときの余りが $-2$ であるとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $x^3 + ax^2 - x - 12$ を $x + 2$ で割ったときの余りが $-2$ であるとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

剰余の定理を利用します。剰余の定理とは、多項式 $P(x)$ を $x - c$ で割ったときの余りは $P(c)$ であるという定理です。

この問題では、多項式 $P(x) = x^3 + ax^2 - x - 12$ を $x + 2$ で割ったときの余りが $-2$ であると言われています。$x + 2 = 0$ となる $x$ の値は $x = -2$ です。

したがって、剰余の定理より、

$P(-2) = (-2)^3 + a(-2)^2 - (-2) - 12 = -2$

が成り立ちます。これを解いて $a$ の値を求めます。

まず、$P(-2)$ を計算します。

$P(-2) = (-8) + 4a + 2 - 12 = 4a - 18$

問題文より、$P(-2) = -2$ なので、

$4a - 18 = -2$

この方程式を解きます。

$4a = -2 + 18$

$4a = 16$

$a = \frac{16}{4}$

$a = 4$

3. 最終的な答え

$a = 4$