数列 $\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 5^{k-1}$ の和を求めます。

1. 問題の内容

数列 $\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 5^{k-1}$ の和を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 5^{k-1}$ の式を変形します。

定数 2 はシグマの外に出せるので、

$\sum_{k=1}^{n} 2 \cdot 5^{k-1} = 2 \sum_{k=1}^{n} 5^{k-1}$

次に、$\sum_{k=1}^{n} 5^{k-1}$ を計算します。これは初項1、公比5、項数nの等比数列の和です。等比数列の和の公式は、

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

ここで、$a$は初項、$r$は公比、$n$は項数です。

この問題の場合、$a = 1$、$r = 5$、$n = n$ なので、

$\sum_{k=1}^{n} 5^{k-1} = \frac{1(5^n - 1)}{5 - 1} = \frac{5^n - 1}{4}$

したがって、

$2 \sum_{k=1}^{n} 5^{k-1} = 2 \cdot \frac{5^n - 1}{4} = \frac{5^n - 1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{5^n - 1}{2}$