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与えられた4つの行列Aについて、階段行列Bと階数を求める問題です。

代数学行列階段行列階数線形代数
2025/6/25

1. 問題の内容

与えられた4つの行列Aについて、階段行列Bと階数を求める問題です。

2. 解き方の手順

**(1) 行列 A = (132−1−2−1243)\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ -1 & -2 & -1 \\ 2 & 4 & 3 \end{pmatrix}**
* 1行目を基準にして、2行目を1行目の1倍を足す、3行目から1行目の2倍を引く。
(1320110−2−1)\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -1 \end{pmatrix}
* 2行目を基準にして、3行目に2行目の2倍を足す。
(132011001)\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
これが階段行列B。
階段行列には3つの非ゼロ行があるので、階数は3。
**(2) 行列 A = (0123−11315)\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 5 \end{pmatrix}**
* 1行目と2行目を入れ替える。
(3−11012315)\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 5 \end{pmatrix}
* 3行目から1行目を引く。
(3−11012024)\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}
* 3行目から2行目の2倍を引く。
(3−11012000)\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
これが階段行列B。
階段行列には2つの非ゼロ行があるので、階数は2。
**(3) 行列 A = (4−7611052−14530121)\begin{pmatrix} 4 & -7 & 6 & 1 \\ 1 & 0 & 5 & 2 \\ -1 & 4 & 5 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}**
* 1行目と2行目を入れ替える。
(10524−761−14530121)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 & 2 \\ 4 & -7 & 6 & 1 \\ -1 & 4 & 5 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}
* 2行目から1行目の4倍を引く、3行目に1行目を足す。
(10520−7−14−7041050121)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & -7 & -14 & -7 \\ 0 & 4 & 10 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}
* 2行目を-7で割る。
(10520121041050121)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 10 & 5 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}
* 3行目から2行目の4倍を引く、4行目から2行目を引く。
(1052012100210000)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
これが階段行列B。
階段行列には3つの非ゼロ行があるので、階数は3。
**(4) 行列 A = (257901235−1−1−3−72234135−13)\begin{pmatrix} 2 & 5 & 7 & 9 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 5 & -1 \\ -1 & -3 & -7 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 13 & 5 & -13 \end{pmatrix}**
* 1行目と2行目を入れ替える。
(1235−125790−1−3−72234135−13)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 5 & -1 \\ 2 & 5 & 7 & 9 & 0 \\ -1 & -3 & -7 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 13 & 5 & -13 \end{pmatrix}
* 2行目から1行目の2倍を引く、3行目に1行目を足す、4行目から1行目の3倍を引く。
(1235−1011−120−1−4710−24−10−10)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & -4 & 7 & 1 \\ 0 & -2 & 4 & -10 & -10 \end{pmatrix}
* 3行目に2行目を足す、4行目に2行目の2倍を足す。
(1235−1011−1200−363006−12−6)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & -3 & 6 & 3 \\ 0 & 0 & 6 & -12 & -6 \end{pmatrix}
* 3行目を-3で割る。
(1235−1011−12001−2−1006−12−6)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 6 & -12 & -6 \end{pmatrix}
* 4行目から3行目の6倍を引く。
(1235−1011−12001−2−100000)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
これが階段行列B。
階段行列には3つの非ゼロ行があるので、階数は3。

3. 最終的な答え

**(1)** 階段行列 B = (132011001)\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}、階数 = 3
**(2)** 階段行列 B = (3−11012000)\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}、階数 = 2
**(3)** 階段行列 B = (1052012100210000)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}、階数 = 3
**(4)** 階段行列 B = (1235−1011−12001−2−100000)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}、階数 = 3

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