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与えられた2つの行列の階数をそれぞれ求める問題です。 行列1: $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 3 & 6 & 5 \end{pmatrix} $ 行列2: $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 3 & 1 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & -3 & 5 \\ 5 & 1 & 4 & 6 \end{pmatrix} $

代数学線形代数行列階数行基本変形
2025/6/24

1. 問題の内容

与えられた2つの行列の階数をそれぞれ求める問題です。
行列1:
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
2 & 1 & 4 & 3 \\
3 & 4 & 5 & 6 \\
4 & 3 & 6 & 5
\end{pmatrix}
行列2:
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 3 \\
3 & 1 & 2 & 4 \\
1 & 4 & -3 & 5 \\
5 & 1 & 4 & 6
\end{pmatrix}

2. 解き方の手順

(1) 行列1の階数を求める。
行列1に対して行基本変形を行い、階段行列に変形する。
まず、2行目から1行目の2倍を引く。3行目から1行目の3倍を引く。4行目から1行目の4倍を引く。
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & -3 & -2 & -5 \\
0 & -2 & -4 & -6 \\
0 & -5 & -6 & -11
\end{pmatrix}
次に、2行目を-3で割る。
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 1 & 2/3 & 5/3 \\
0 & -2 & -4 & -6 \\
0 & -5 & -6 & -11
\end{pmatrix}
3行目に2行目の2倍を足す。4行目に2行目の5倍を足す。
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 1 & 2/3 & 5/3 \\
0 & 0 & -8/3 & -8/3 \\
0 & 0 & -8/3 & -8/3
\end{pmatrix}
4行目から3行目を引く。
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 1 & 2/3 & 5/3 \\
0 & 0 & -8/3 & -8/3 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
3行目を-3/8で割る。
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 1 & 2/3 & 5/3 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
階段行列になった。ゼロでない行の数は3なので、行列1の階数は3である。
(2) 行列2の階数を求める。
行列2に対して行基本変形を行い、階段行列に変形する。
2行目から1行目の3倍を引く。3行目から1行目を引く。4行目から1行目の5倍を引く。
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 3 \\
0 & -5 & 5 & -5 \\
0 & 2 & -2 & 2 \\
0 & -9 & 9 & -9
\end{pmatrix}
2行目を-5で割る。
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 3 \\
0 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 2 & -2 & 2 \\
0 & -9 & 9 & -9
\end{pmatrix}
3行目から2行目の2倍を引く。4行目に2行目の9倍を足す。
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 3 \\
0 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
階段行列になった。ゼロでない行の数は2なので、行列2の階数は2である。

3. 最終的な答え

行列1の階数: 3
行列2の階数: 2

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