## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた4つの不定積分を計算します。

(1) $\int \frac{\sqrt[5]{x} + 2x}{x^2} dx$

(2) $\int (x^3 \sqrt{x} - 5^x) dx$

(3) $\int (4e^x + 3 \tan x) dx$

(4) $\int \tan^2 x dx$

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2. 解き方の手順

**(1) $\int \frac{\sqrt[5]{x} + 2x}{x^2} dx$**

まず、被積分関数を整理します。

$\frac{\sqrt[5]{x} + 2x}{x^2} = \frac{x^{1/5}}{x^2} + \frac{2x}{x^2} = x^{\frac{1}{5}-2} + \frac{2}{x} = x^{-9/5} + \frac{2}{x}$

積分を計算します。

$\int (x^{-9/5} + \frac{2}{x}) dx = \int x^{-9/5} dx + 2 \int \frac{1}{x} dx$

$\int x^{-9/5} dx = \frac{x^{-9/5 + 1}}{-9/5 + 1} + C_1 = \frac{x^{-4/5}}{-4/5} + C_1 = -\frac{5}{4} x^{-4/5} + C_1$

$\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C_2$

したがって、

$\int \frac{\sqrt[5]{x} + 2x}{x^2} dx = -\frac{5}{4} x^{-4/5} + 2 \ln |x| + C$

**(2) $\int (x^3 \sqrt{x} - 5^x) dx$**

被積分関数を整理します。

$x^3 \sqrt{x} = x^3 x^{1/2} = x^{3 + 1/2} = x^{7/2}$

したがって、

$\int (x^3 \sqrt{x} - 5^x) dx = \int (x^{7/2} - 5^x) dx = \int x^{7/2} dx - \int 5^x dx$

$\int x^{7/2} dx = \frac{x^{7/2 + 1}}{7/2 + 1} + C_1 = \frac{x^{9/2}}{9/2} + C_1 = \frac{2}{9} x^{9/2} + C_1$

$\int 5^x dx = \frac{5^x}{\ln 5} + C_2$

したがって、

$\int (x^3 \sqrt{x} - 5^x) dx = \frac{2}{9} x^{9/2} - \frac{5^x}{\ln 5} + C$

**(3) $\int (4e^x + 3 \tan x) dx$**

$\int (4e^x + 3 \tan x) dx = 4 \int e^x dx + 3 \int \tan x dx$

$\int e^x dx = e^x + C_1$

$\int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx$. ここで $u = \cos x$ とすると $du = -\sin x dx$ なので、

$\int \tan x dx = \int \frac{-1}{u} du = - \ln |u| + C_2 = -\ln |\cos x| + C_2 = \ln |\sec x| + C_2$

したがって、

$\int (4e^x + 3 \tan x) dx = 4e^x + 3 \ln |\sec x| + C$

**(4) $\int \tan^2 x dx$**

三角関数の恒等式 $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ を使用します。

$\int \tan^2 x dx = \int (\sec^2 x - 1) dx = \int \sec^2 x dx - \int 1 dx$

$\int \sec^2 x dx = \tan x + C_1$

$\int 1 dx = x + C_2$

したがって、

$\int \tan^2 x dx = \tan x - x + C$

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3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{\sqrt[5]{x} + 2x}{x^2} dx = -\frac{5}{4} x^{-4/5} + 2 \ln |x| + C$

(2) $\int (x^3 \sqrt{x} - 5^x) dx = \frac{2}{9} x^{9/2} - \frac{5^x}{\ln 5} + C$

(3) $\int (4e^x + 3 \tan x) dx = 4e^x + 3 \ln |\sec x| + C$

(4) $\int \tan^2 x dx = \tan x - x + C$