多項式 $2x^3 + ax^2 - 4x + 2$ を $x-2$ で割ったときの余りが4であるとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $2x^3 + ax^2 - 4x + 2$ を $x-2$ で割ったときの余りが4であるとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

剰余の定理を利用します。多項式 $P(x)$ を $x-c$ で割ったときの余りは $P(c)$ であるという定理です。

この問題では、$P(x) = 2x^3 + ax^2 - 4x + 2$ であり、$x-c = x-2$ なので、$c=2$ です。

したがって、余りは $P(2)$ で与えられます。

$P(2) = 2(2)^3 + a(2)^2 - 4(2) + 2$

$P(2) = 2(8) + a(4) - 8 + 2$

$P(2) = 16 + 4a - 8 + 2$

$P(2) = 4a + 10$

問題文より、$P(2) = 4$ なので、

$4a + 10 = 4$

$4a = 4 - 10$

$4a = -6$

$a = -\frac{6}{4}$

$a = -\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$a = -\frac{3}{2}$