楕円 $4x^2 + 9y^2 - 8x + 36y + 4 = 0$ の中心の座標を求めます。

1. 問題の内容

楕円 $4x^2 + 9y^2 - 8x + 36y + 4 = 0$ の中心の座標を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を平方完成します。

$4x^2 - 8x + 9y^2 + 36y + 4 = 0$

$4(x^2 - 2x) + 9(y^2 + 4y) + 4 = 0$

$4(x^2 - 2x + 1 - 1) + 9(y^2 + 4y + 4 - 4) + 4 = 0$

$4( (x - 1)^2 - 1 ) + 9( (y + 2)^2 - 4 ) + 4 = 0$

$4(x - 1)^2 - 4 + 9(y + 2)^2 - 36 + 4 = 0$

$4(x - 1)^2 + 9(y + 2)^2 = 36$

両辺を36で割ると、

$\frac{(x - 1)^2}{9} + \frac{(y + 2)^2}{4} = 1$

これは楕円の標準形 $\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ で、中心は $(h, k)$ となります。

この問題の場合、$h = 1$ および $k = -2$ なので、中心の座標は $(1, -2)$ です。

3. 最終的な答え

(1, -2)