3次方程式 $x^3 + ax + b = 0$ が $x=1$ と $x=2$ を解に持つとき、定数 $a$, $b$ の値と他の解を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax + b = 0$ が $x=1$ と $x=2$ を解に持つとき、定数 $a$, $b$ の値と他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

$x=1$ と $x=2$ が解なので、それぞれの方程式に代入すると

$1^3 + a(1) + b = 0$ より

$1 + a + b = 0$

$a + b = -1$ ...(1)

$2^3 + a(2) + b = 0$ より

$8 + 2a + b = 0$

$2a + b = -8$ ...(2)

(2) - (1) より

$(2a + b) - (a + b) = -8 - (-1)$

$a = -7$

(1) に代入して

$-7 + b = -1$

$b = 6$

したがって、$x^3 - 7x + 6 = 0$となる。

$x=1$と$x=2$を解に持つので、$(x-1)(x-2)$ で割り切れる。

$(x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2$ であるから、$x^3 - 7x + 6$ を $x^2 - 3x + 2$ で割ると

$x^3 - 7x + 6 = (x^2 - 3x + 2)(x+3) = (x-1)(x-2)(x+3)$

したがって、 $x^3 - 7x + 6 = 0$ の解は $x = 1, 2, -3$

他の解は $x = -3$

3. 最終的な答え

$a = -7$

$b = 6$

他の解: $-3$