3次方程式 $x^3 + ax^2 - x + b = 0$ が $-2$ と $3$ を解にもつとき、定数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 - x + b = 0$ が $-2$ と $3$ を解にもつとき、定数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x=-2$ と $x=3$ が解であることから、それぞれを方程式に代入して $a$ と $b$ に関する連立方程式を立てます。

$x = -2$ を代入すると:

$(-2)^3 + a(-2)^2 - (-2) + b = 0$

$-8 + 4a + 2 + b = 0$

$4a + b = 6$ ...(1)

$x = 3$ を代入すると:

$(3)^3 + a(3)^2 - 3 + b = 0$

$27 + 9a - 3 + b = 0$

$9a + b = -24$ ...(2)

(2) - (1) より:

$5a = -30$

$a = -6$

(1)に $a = -6$ を代入すると:

$4(-6) + b = 6$

$-24 + b = 6$

$b = 30$

したがって、$a = -6$、 $b = 30$ となります。

元の3次方程式は、$x^3 - 6x^2 - x + 30 = 0$ となります。

この方程式は $x=-2$ と $x=3$ を解にもつので、$(x+2)$ と $(x-3)$ を因数に持ちます。よって、$(x+2)(x-3) = x^2 - x - 6$ で割り切れるはずです。

実際に割ってみると:

$x^3 - 6x^2 - x + 30 = (x^2 - x - 6)(x - 5)$

したがって、

$x^3 - 6x^2 - x + 30 = (x+2)(x-3)(x-5) = 0$

解は $x = -2, 3, 5$ です。

求める他の解は $x=5$ です。

3. 最終的な答え

$a = -6$

$b = 30$

他の解: $5$