3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 24 = 0$ が 2 と 3 を解にもつとき、定数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 24 = 0$ が 2 と 3 を解にもつとき、定数 $a, b$ の値と他の解を求めよ。

2. 解き方の手順

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 24 = 0$ が 2 と 3 を解にもつので、$x=2$ と $x=3$ を代入して、以下の2つの式を得ます。

$2^3 + a(2^2) + b(2) + 24 = 0$

$8 + 4a + 2b + 24 = 0$

$4a + 2b = -32$

$2a + b = -16$ (1)

$3^3 + a(3^2) + b(3) + 24 = 0$

$27 + 9a + 3b + 24 = 0$

$9a + 3b = -51$

$3a + b = -17$ (2)

(2) - (1) より

$3a + b - (2a + b) = -17 - (-16)$

$a = -1$

$a = -1$ を (1) に代入すると

$2(-1) + b = -16$

$-2 + b = -16$

$b = -14$

したがって、3次方程式は $x^3 - x^2 - 14x + 24 = 0$ となります。

$x = 2$ と $x = 3$ を解にもつので、$(x-2)(x-3)$ で割り切れるはずです。

$(x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6$

$x^3 - x^2 - 14x + 24$ を $x^2 - 5x + 6$ で割ると、

$x^3 - x^2 - 14x + 24 = (x^2 - 5x + 6)(x + 4) = (x-2)(x-3)(x+4)$

よって、3次方程式 $x^3 - x^2 - 14x + 24 = 0$ の解は、$x = 2, 3, -4$ です。

他の解は $x = -4$ です。

3. 最終的な答え

$a = -1$

$b = -14$

他の解: $-4$