与えられた双曲線の式 $25x^2 - 4y^2 + 100x - 24y - 36 = 0$ の中心の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた双曲線の式 $25x^2 - 4y^2 + 100x - 24y - 36 = 0$ の中心の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

双曲線の式を標準形に変形し、中心の座標を求めます。

まず、$x$と$y$の項をそれぞれまとめます。

$25(x^2 + 4x) - 4(y^2 + 6y) - 36 = 0$

次に、$x$と$y$のそれぞれについて平方完成を行います。

$25(x^2 + 4x + 4 - 4) - 4(y^2 + 6y + 9 - 9) - 36 = 0$

$25((x+2)^2 - 4) - 4((y+3)^2 - 9) - 36 = 0$

$25(x+2)^2 - 100 - 4(y+3)^2 + 36 - 36 = 0$

$25(x+2)^2 - 4(y+3)^2 = 100$

両辺を100で割ります。

$\frac{(x+2)^2}{4} - \frac{(y+3)^2}{25} = 1$

この式は、双曲線の標準形 $\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$ で表されます。ここで、中心の座標は $(h, k)$ です。

今回の場合は、$h = -2$、$k = -3$ となります。

3. 最終的な答え

中心の座標は $(-2, -3)$ です。