3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 24 = 0$ が $-2 + 2i$ を解に持つとき、実数の定数 $a, b$ の値と他の解を求めなさい。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 24 = 0$ が $-2 + 2i$ を解に持つとき、実数の定数 $a, b$ の値と他の解を求めなさい。

2. 解き方の手順

複素数 $-2+2i$ が解であることから、係数が実数なので、共役複素数 $-2-2i$ も解である。

3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta + \gamma = -a$

$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = b$

$\alpha \beta \gamma = -24$

ここで、$\alpha = -2+2i, \beta = -2-2i$ とすると、

$\alpha \beta = (-2+2i)(-2-2i) = (-2)^2 + (2)^2 = 4 + 4 = 8$

$\alpha + \beta = -2+2i -2 -2i = -4$

よって、

$\alpha \beta \gamma = 8\gamma = -24$

$\gamma = -3$

したがって、3つの解は $-2+2i, -2-2i, -3$ である。

$\alpha + \beta + \gamma = -4 - 3 = -7 = -a$

$a = 7$

$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = 8 + (-2-2i)(-3) + (-2+2i)(-3) = 8 + 6 + 6i + 6 - 6i = 8 + 12 = 20 = b$

$b = 20$

3. 最終的な答え

$a = 7$, $b = 20$, 他の解: $-2-2i,-3$