$a$ を自然数とするとき、$\sqrt{100-2a}$ が自然数となるような $a$ の個数を求める。

1. 問題の内容

$a$ を自然数とするとき、$\sqrt{100-2a}$ が自然数となるような $a$ の個数を求める。

2. 解き方の手順

$\sqrt{100-2a}$ が自然数となるためには、$100-2a$ が0以上の平方数でなければならない。

$100 - 2a = k^2$ とおく。ここで、$k$ は0以上の整数である。

$2a = 100 - k^2$

$a = \frac{100 - k^2}{2}$

$a$ は自然数なので、$100 - k^2$ は正の偶数でなければならない。

つまり、$100 - k^2 > 0$ であり、$100 - k^2$ は偶数。

$k^2 < 100$ より、$k < 10$

また、$100 - k^2$ が偶数であるためには、$k^2$ が偶数でなければならない。

したがって、$k$ は偶数である。

$k$ の候補は、$0, 2, 4, 6, 8$ である。

$k=0$ のとき、$a = \frac{100-0}{2} = 50$

$k=2$ のとき、$a = \frac{100-4}{2} = 48$

$k=4$ のとき、$a = \frac{100-16}{2} = 42$

$k=6$ のとき、$a = \frac{100-36}{2} = 32$

$k=8$ のとき、$a = \frac{100-64}{2} = 18$

よって、$a$ の値は $50, 48, 42, 32, 18$ の5つである。

3. 最終的な答え

5つ