$a$ を正の定数とするとき、関数 $y = 2x^2 - 2x$ ($0 \le x \le a$) の最大値およびそのときの $x$ の値を求める。また、同じ関数の最小値およびそのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とするとき、関数 $y = 2x^2 - 2x$ ($0 \le x \le a$) の最大値およびそのときの $x$ の値を求める。また、同じ関数の最小値およびそのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 2x = 2(x^2 - x) = 2(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) = 2((x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) = 2(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2}$

よって、この関数の頂点は $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ です。軸は $x = \frac{1}{2}$ です。

(1) 最大値を求める。

定義域 $0 \le x \le a$ を考慮して、場合分けをします。

(i) $0 < a \le \frac{1}{2}$ のとき

このとき、関数は定義域内で単調減少であるため、$x = 0$ で最大値をとります。

最大値は $y = 2(0)^2 - 2(0) = 0$ であり、そのときの $x$ の値は $0$ です。

(ii) $a > \frac{1}{2}$ のとき

このとき、$x = a$ で最大値をとります。

最大値は $y = 2a^2 - 2a$ であり、そのときの $x$ の値は $a$ です。

(2) 最小値を求める。

定義域 $0 \le x \le a$ を考慮して、場合分けをします。

(i) $a \le \frac{1}{2}$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ 内で $x = a$ のときに最小値をとる。

最小値は $y = 2a^2 - 2a$ であり、そのときの $x$ の値は $a$ です。

(ii) $a > \frac{1}{2}$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ 内で $x = \frac{1}{2}$ のときに最小値をとる。

最小値は $y = -\frac{1}{2}$ であり、そのときの $x$ の値は $\frac{1}{2}$ です。

3. 最終的な答え

最大値：

- $0 < a \le \frac{1}{2}$ のとき、最大値は $0$ ($x = 0$)

- $a > \frac{1}{2}$ のとき、最大値は $2a^2 - 2a$ ($x = a$)

最小値：

- $a \le \frac{1}{2}$ のとき、最小値は $2a^2 - 2a$ ($x = a$)

- $a > \frac{1}{2}$ のとき、最小値は $-\frac{1}{2}$ ($x = \frac{1}{2}$)