$(3x^4 - \frac{1}{2x})^8$ の展開式における $x^2$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(3x^4 - \frac{1}{2x})^8$ の展開式における $x^2$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開します。

二項定理より、$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k a^{n-k} b^k$ です。

この問題では、$a = 3x^4$, $b = -\frac{1}{2x}$, $n = 8$ です。

$x^2$ の項の係数を求めたいので、一般項 ${}_8 C_k (3x^4)^{8-k} (-\frac{1}{2x})^k$ を考えます。

この一般項の $x$ の指数が $2$ になるような $k$ を求めます。

$x$ の指数は、$4(8-k) - k = 32 - 4k - k = 32 - 5k$ です。

これが $2$ に等しくなるので、$32 - 5k = 2$ を解くと、 $5k = 30$, よって $k = 6$ です。

したがって、$x^2$ の項は、${}_8 C_6 (3x^4)^{8-6} (-\frac{1}{2x})^6 = {}_8 C_6 (3x^4)^2 (-\frac{1}{2x})^6$ です。

${}_8 C_6 = \frac{8!}{6!2!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

$(3x^4)^2 = 9x^8$

$(-\frac{1}{2x})^6 = \frac{1}{64x^6}$

よって、$x^2$ の項は、$28 \times 9x^8 \times \frac{1}{64x^6} = 28 \times 9 \times \frac{1}{64} x^2 = \frac{252}{64}x^2 = \frac{63}{16}x^2$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{63}{16}$