与えられた式 $x^2 - ax - 6x + 3a + 9$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - ax - 6x + 3a + 9$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、式を整理して、共通因数を見つけやすい形にします。$x$ に関する項と $a$ に関する項をまとめます。

$x^2 - ax - 6x + 3a + 9 = x^2 - (a+6)x + (3a+9)$

この式を $x$ の2次式と見て、因数分解できるか検討します。定数項 $3a+9 = 3(a+3)$ であることに注意します。

$x^2 - (a+6)x + 3(a+3)$

次に、この式が $(x + p)(x + q)$ の形に因数分解できると仮定します。ただし $p$ と $q$ は定数です。

すると、$p + q = -(a+6)$ かつ $pq = 3(a+3)$ となる必要があります。

$3(a+3)$ という形から、$p$ または $q$ が $3$ を含む可能性があります。

試しに、$p = -3$ と仮定してみると、$q = -(a+3)$ となります。

このとき、$p + q = -3 - (a+3) = -a - 6$ となり、条件を満たします。

したがって、$x^2 - (a+6)x + 3(a+3) = (x - 3)(x - (a+3)) = (x - 3)(x - a - 3)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x - 3)(x - a - 3)$