自然数 $n$ に対して、以下の式を $n$ の式で表せ。 $$ {}_nC_0 + {}_nC_1 \cdot (-5) + {}_nC_2 \cdot (-5)^2 + \dots + {}_nC_{n-1} \cdot (-5)^{n-1} + {}_nC_n \cdot (-5)^n $$

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、以下の式を $n$ の式で表せ。

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{}_nC_0 + {}_nC_1 \cdot (-5) + {}_nC_2 \cdot (-5)^2 + \dots + {}_nC_{n-1} \cdot (-5)^{n-1} + {}_nC_n \cdot (-5)^n

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2. 解き方の手順

この式は二項定理

$$(1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_nC_k x^k = {}_nC_0 + {}_nC_1 x + {}_nC_2 x^2 + \dots + {}_nC_n x^n$$

の $x$ に $-5$ を代入したものである。

よって、

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{}_nC_0 + {}_nC_1 \cdot (-5) + {}_nC_2 \cdot (-5)^2 + \dots + {}_nC_{n-1} \cdot (-5)^{n-1} + {}_nC_n \cdot (-5)^n = (1 + (-5))^n

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= (1 - 5)^n = (-4)^n

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3. 最終的な答え

$(-4)^n$