$a, b, c, d$ を $1$ と異なる正の数とするとき、以下の等式を証明する。 (1) $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$ (2) $\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c d \cdot \log_d a = 1$

1. 問題の内容

$a, b, c, d$ を $1$ と異なる正の数とするとき、以下の等式を証明する。

(1) $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$

(2) $\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c d \cdot \log_d a = 1$

2. 解き方の手順

(1) 対数の底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を用いる。

$\log_a b \cdot \log_b c = \frac{\log_c b}{\log_c a} \cdot \frac{\log_c c}{\log_c b} = \frac{\log_c c}{\log_c a}$

ここで、$\log_c c = 1$ であるから、

$\log_a b \cdot \log_b c = \frac{1}{\log_c a} = \log_a c$

したがって、$\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$ が成り立つ。

(2) 対数の底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を用いる。

$\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c d \cdot \log_d a = \frac{\log b}{\log a} \cdot \frac{\log c}{\log b} \cdot \frac{\log d}{\log c} \cdot \frac{\log a}{\log d}$

ここで、$\log$ は任意の底の対数を表す（例えば、自然対数）。

約分を行うと、

$\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c d \cdot \log_d a = \frac{\log b}{\log a} \cdot \frac{\log c}{\log b} \cdot \frac{\log d}{\log c} \cdot \frac{\log a}{\log d} = 1$

したがって、$\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c d \cdot \log_d a = 1$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$

(2) $\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c d \cdot \log_d a = 1$