放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上に $x$ 座標がそれぞれ $-4$ と $2$ である点 A, B をとる。 (1) 線分 AB の長さを求める。 (2) 線分 AB 上に点 P をとる。三角形 OAP と三角形 OBP の周の長さが等しいとき、線分 BP の長さを求める。

## 問題57

1. 問題の内容

放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上に $x$ 座標がそれぞれ $-4$ と $2$ である点 A, B をとる。

(1) 線分 AB の長さを求める。

(2) 線分 AB 上に点 P をとる。三角形 OAP と三角形 OBP の周の長さが等しいとき、線分 BP の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 点 A, B の座標を求める。

$x = -4$ のとき $y = \frac{1}{2}(-4)^2 = 8$ なので、A の座標は $(-4, 8)$。

$x = 2$ のとき $y = \frac{1}{2}(2)^2 = 2$ なので、B の座標は $(2, 2)$。

2点間の距離の公式を用いて、線分 AB の長さを求める。

$AB = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (2 - 8)^2} = \sqrt{6^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$

(2) $\triangle OAP$ と $\triangle OBP$ の周の長さが等しいので、

$OA + AP + OP = OB + BP + OP$

よって、$OA + AP = OB + BP$

$OA = \sqrt{(-4)^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$

$OB = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

$AP + BP = AB = 6\sqrt{2}$ より、$AP = 6\sqrt{2} - BP$

これを $OA + AP = OB + BP$ に代入すると、

$4\sqrt{5} + 6\sqrt{2} - BP = 2\sqrt{2} + BP$

$2BP = 4\sqrt{5} + 4\sqrt{2}$

$BP = 2\sqrt{5} + 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $6\sqrt{2}$

(2) $2\sqrt{5} + 2\sqrt{2}$