2次方程式 $-x^2 + 4x + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、2$\alpha$、2$\beta$ を解とする $x^2$ の係数が1の2次方程式を求めなさい。

1. 問題の内容

2次方程式 $-x^2 + 4x + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、2$\alpha$、2$\beta$ を解とする $x^2$ の係数が1の2次方程式を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式 $-x^2 + 4x + 5 = 0$ を変形します。両辺に -1 を掛けると、

$x^2 - 4x - 5 = 0$

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 4$

$\alpha\beta = -5$

求める2次方程式の解は $2\alpha$、$2\beta$ なので、解と係数の関係より、

2つの解の和は $2\alpha + 2\beta = 2(\alpha + \beta) = 2(4) = 8$

2つの解の積は $(2\alpha)(2\beta) = 4\alpha\beta = 4(-5) = -20$

$x^2$ の係数が1の2次方程式は、$x^2 - (\text{2つの解の和})x + (\text{2つの解の積}) = 0$ なので、

$x^2 - 8x - 20 = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 - 8x - 20 = 0$