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2次方程式 $x^2 + 3x + (-3k + 4) = 0$ が2つの異なる虚数解を持つときの、$k$ の範囲を求める問題です。ただし、$k$ は定数とします。

代数学二次方程式判別式虚数解不等式
2025/6/24

1. 問題の内容

2次方程式 x2+3x+(−3k+4)=0x^2 + 3x + (-3k + 4) = 0 が2つの異なる虚数解を持つときの、kk の範囲を求める問題です。ただし、kk は定数とします。

2. 解き方の手順

2次方程式が2つの異なる虚数解を持つための条件は、判別式 DD が D<0D < 0 となることです。
この2次方程式の判別式 DD は、
D=b2−4acD = b^2 - 4ac で計算できます。
この問題の場合、a=1a = 1, b=3b = 3, c=−3k+4c = -3k + 4 です。
したがって、判別式 DD は次のようになります。
D=32−4(1)(−3k+4)=9−4(−3k+4)=9+12k−16=12k−7D = 3^2 - 4(1)(-3k + 4) = 9 - 4(-3k + 4) = 9 + 12k - 16 = 12k - 7
2つの異なる虚数解を持つためには、D<0D < 0 である必要があります。
したがって、
12k−7<012k - 7 < 0
12k<712k < 7
k<712k < \frac{7}{12}

3. 最終的な答え

k<712k < \frac{7}{12}

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