$\sqrt{2}$ と $2\sqrt{2}$ を解とし、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{2}$ と $2\sqrt{2}$ を解とし、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

2つの解を $\alpha$ と $\beta$ とすると、$\alpha = \sqrt{2}$, $\beta = 2\sqrt{2}$ です。

$x^2$ の係数が1である2次方程式は、

$$(x - \alpha)(x - \beta) = 0$$

と表すことができます。展開すると、

$$x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$$

となります。

まず、$\alpha + \beta$ を計算します。

$$\alpha + \beta = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$$

次に、$\alpha\beta$ を計算します。

$$\alpha\beta = \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 2(\sqrt{2})^2 = 2 \cdot 2 = 4$$

したがって、求める2次方程式は

$$x^2 - 3\sqrt{2}x + 4 = 0$$

となります。

3. 最終的な答え

$x^2 - 3\sqrt{2}x + 4 = 0$