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2次方程式 $x^2 + 2x + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$3\alpha, 3\beta$ を解とする $x^2$ の係数が1の2次方程式を求める問題です。

代数学二次方程式解と係数の関係
2025/6/24

1. 問題の内容

2次方程式 x2+2x+5=0x^2 + 2x + 5 = 0 の2つの解を α,β\alpha, \beta とするとき、3α,3β3\alpha, 3\beta を解とする x2x^2 の係数が1の2次方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係を用いて、α+β\alpha + \beta と αβ\alpha\beta の値を求めます。
与えられた2次方程式 x2+2x+5=0x^2 + 2x + 5 = 0 について、解と係数の関係より、
α+β=−2\alpha + \beta = -2
αβ=5\alpha\beta = 5
次に、3α3\alpha と 3β3\beta を解とする2次方程式を考えます。
求める2次方程式を x2+ax+b=0x^2 + ax + b = 0 とすると、解と係数の関係から、
3α+3β=−a3\alpha + 3\beta = -a
(3α)(3β)=b(3\alpha)(3\beta) = b
ここで、α+β=−2\alpha + \beta = -2 より、
3α+3β=3(α+β)=3(−2)=−63\alpha + 3\beta = 3(\alpha + \beta) = 3(-2) = -6
よって、a=6a = 6
また、αβ=5\alpha\beta = 5 より、
(3α)(3β)=9αβ=9(5)=45(3\alpha)(3\beta) = 9\alpha\beta = 9(5) = 45
よって、b=45b = 45
したがって、求める2次方程式は x2+6x+45=0x^2 + 6x + 45 = 0 となります。

3. 最終的な答え

x2+6x+45=0x^2 + 6x + 45 = 0

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