与えられた4つの数 $\log_3 10$, $2$, $\log_3 \sqrt{99}$, $\log_5 9$ を小さい順に並べよ。

1. 問題の内容

与えられた4つの数 $\log_3 10$, $2$, $\log_3 \sqrt{99}$, $\log_5 9$ を小さい順に並べよ。

2. 解き方の手順

まず、すべての数を同じような形式に書き換えて比較しやすくします。底を3に統一することを考えます。

* $\log_3 10$ はそのまま。

* $2$ を底が3の対数で表すと、 $2 = \log_3 3^2 = \log_3 9$ となります。

* $\log_3 \sqrt{99}$ は $\log_3 99^{1/2} = \frac{1}{2} \log_3 99$ となります。

$99 = 9 \cdot 11$ より $\sqrt{99} \approx \sqrt{81}=9$ から $\sqrt{99}$ は$9$より少し大きい数なので、$\log_3 \sqrt{99}$ は $\log_3 9 = 2$ より少し大きいです。

* $\log_5 9$ について、底の変換公式を用いて底を3に変換します。

$\log_5 9 = \frac{\log_3 9}{\log_3 5} = \frac{2}{\log_3 5}$。

$\log_3 5$ は $3^1 = 3$ と $3^2 = 9$ の間にあるので、1と2の間の値です。したがって、$\log_3 5$ は 1.x のような値をとるので、$\frac{2}{\log_3 5}$ はおおよそ1.xの様な値をとります。

したがって、$\log_3 10$, $\log_3 9$, $\log_3 \sqrt{99}$, $\frac{2}{\log_3 5}$ の大小を比較します。

$9 < 10 < \sqrt{99}$ なので, $\log_3 9 < \log_3 10 < \log_3 \sqrt{99}$.

$\log_3 5 \approx 1.5$ なので、$\frac{2}{\log_3 5} \approx \frac{2}{1.5} \approx 1.3$ となります。

$\log_3 10$ は $3^2 = 9 < 10 < 27 = 3^3$ から 2 より少し小さい数です。また, $\log_3 9 = 2$ です。

$\log_3 \sqrt{99}$ は $\sqrt{99} \approx 10$ であることを考えると $\log_3 10$ よりわずかに大きいです。

よって、

$\log_5 9 < \log_3 9 < \log_3 10 < \log_3 \sqrt{99}$

すなわち, $\log_5 9 < 2 < \log_3 10 < \log_3 \sqrt{99}$

3. 最終的な答え

$\log_5 9, 2, \log_3 10, \log_3 \sqrt{99}$