2次方程式 $x^2 + 2x + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$3\alpha$, $3\beta$ を解とする $x^2$ の係数が1の2次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2x + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、$3\alpha$, $3\beta$ を解とする $x^2$ の係数が1の2次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、解と係数の関係より、$\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ の値を求めます。

$x^2 + 2x + 5 = 0$ について、

$\alpha + \beta = -2$

$\alpha\beta = 5$

次に、$3\alpha$ と $3\beta$ を解とする2次方程式を考えます。その2次方程式を $x^2 + ax + b = 0$ とすると、解と係数の関係から、

$3\alpha + 3\beta = -a$

$3\alpha \cdot 3\beta = 9\alpha\beta = b$

$3\alpha + 3\beta = 3(\alpha + \beta) = 3(-2) = -6$

よって、$-a = -6$ より $a = 6$

$9\alpha\beta = 9(5) = 45$

よって、$b = 45$

したがって、求める2次方程式は $x^2 + 6x + 45 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

$x^2 + 6x + 45 = 0$