(1) $(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})$ を計算し、$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$ の分母を有理化する。 (2) (ア) $\sqrt{28+10\sqrt{3}}$ と (イ) $\sqrt{27-7\sqrt{5}}$ を簡単にする。 (3) $\sqrt{a^2 - 2\sqrt{a^2 - 2a + 1}}$ を整理する。

1. 問題の内容

(1) $(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})$ を計算し、$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$ の分母を有理化する。

(2) (ア) $\sqrt{28+10\sqrt{3}}$ と (イ) $\sqrt{27-7\sqrt{5}}$ を簡単にする。

(3) $\sqrt{a^2 - 2\sqrt{a^2 - 2a + 1}}$ を整理する。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})$を計算する。

これは和と差の積の公式 $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ を使うと、

$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2$となる。

$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6}$

$(\sqrt{5})^2 = 5$

よって、$(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}) = 5 + 2\sqrt{6} - 5 = 2\sqrt{6}$

次に、$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$ の分母を有理化する。

まず、分母分子に$(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}$をかけると、

$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})((\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5})} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2}$

$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{5+2\sqrt{6}-5} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2\sqrt{6}}$

さらに分母分子に$\sqrt{6}$をかけると、

$\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})\sqrt{6}}{2\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{12}+\sqrt{18}-\sqrt{30}}{2(6)} = \frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}$

(2)

(ア) $\sqrt{28+10\sqrt{3}}$ を簡単にする。

$\sqrt{28+10\sqrt{3}} = \sqrt{28+2\sqrt{75}}$となるので、$a+b=28$、$ab=75$となる$a$と$b$を見つける。

$a=25$、$b=3$ とすると、$a+b=25+3=28$, $ab=25\times3 = 75$を満たす。

よって、$\sqrt{28+10\sqrt{3}} = \sqrt{25} + \sqrt{3} = 5 + \sqrt{3}$

(イ) $\sqrt{27-7\sqrt{5}}$ を簡単にする。

$\sqrt{27-7\sqrt{5}} = \sqrt{27-2\sqrt{\frac{49\times5}{4}}} = \sqrt{27-2\sqrt{\frac{245}{4}}}$となるので、$a+b=27$、$ab=\frac{245}{4}$となる$a$と$b$を見つける。

$a=\frac{49}{2}$、$b=\frac{5}{2}$とすると、$a+b = \frac{49}{2}+\frac{5}{2} = \frac{54}{2}=27$, $ab = \frac{49\times5}{4} = \frac{245}{4}$を満たす。

$\sqrt{27-7\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{49}{2}} - \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{10}}{2} = \frac{7\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2}$

(3)

$\sqrt{a^2 - 2\sqrt{a^2 - 2a + 1}} = \sqrt{a^2 - 2\sqrt{(a-1)^2}}$

ここで$\sqrt{(a-1)^2} = |a-1|$であることに注意する。

$\sqrt{a^2 - 2|a-1|}$

$a \ge 1$のとき、$\sqrt{a^2 - 2(a-1)} = \sqrt{a^2-2a+2}$

$a < 1$のとき、$\sqrt{a^2 - 2(1-a)} = \sqrt{a^2+2a-2}$

3. 最終的な答え

(1)

$(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}) = 2\sqrt{6}$

$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}$

(2)

(ア) $\sqrt{28+10\sqrt{3}} = 5 + \sqrt{3}$

(イ) $\sqrt{27-7\sqrt{5}} = \frac{7\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2}$

(3)

$a \ge 1$のとき、$\sqrt{a^2 - 2\sqrt{a^2 - 2a + 1}} = \sqrt{a^2-2a+2}$

$a < 1$のとき、$\sqrt{a^2 - 2\sqrt{a^2 - 2a + 1}} = \sqrt{a^2+2a-2}$