問題は、数学的帰納法を用いて、以下の2つの命題がすべての自然数 $n$ に対して成り立つことを証明することです。 (1) $\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \cdots + \frac{n}{(n+1)!} = 1 - \frac{1}{(n+1)!}$ (2) $2^{n+1} > n(n+1) + 1$

1. 問題の内容

問題は、数学的帰納法を用いて、以下の2つの命題がすべての自然数 $n$ に対して成り立つことを証明することです。

(1) $\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \cdots + \frac{n}{(n+1)!} = 1 - \frac{1}{(n+1)!}$

(2) $2^{n+1} > n(n+1) + 1$

2. 解き方の手順

(1) 等式の証明

* ステップ1: 帰納法の基礎 ($n=1$のとき)

左辺: $\frac{1}{2!} = \frac{1}{2}$

右辺: $1 - \frac{1}{(1+1)!} = 1 - \frac{1}{2!} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

よって、$n=1$のとき、等式は成り立ちます。

* ステップ2: 帰納法の仮定

$n=k$のとき、等式が成り立つと仮定します。すなわち、

$\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \cdots + \frac{k}{(k+1)!} = 1 - \frac{1}{(k+1)!}$

* ステップ3: 帰納法のステップ ($n=k+1$のとき)

$n=k+1$のとき、等式が成り立つことを示します。

$\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \cdots + \frac{k}{(k+1)!} + \frac{k+1}{(k+2)!}$

$= (1 - \frac{1}{(k+1)!}) + \frac{k+1}{(k+2)!}$ (帰納法の仮定より)

$= 1 - \frac{1}{(k+1)!} + \frac{k+1}{(k+2)!}$

$= 1 - \frac{k+2}{(k+2)!} + \frac{k+1}{(k+2)!}$

$= 1 - \frac{k+2 - (k+1)}{(k+2)!}$

$= 1 - \frac{1}{(k+2)!}$

これは、$n=k+1$のときの右辺に等しいので、$n=k+1$のときも等式は成り立ちます。

* ステップ4: 結論

数学的帰納法の原理により、すべての自然数 $n$ に対して等式は成り立ちます。

(2) 不等式の証明

* ステップ1: 帰納法の基礎 ($n=1$のとき)

左辺: $2^{1+1} = 2^2 = 4$

右辺: $1(1+1) + 1 = 1(2) + 1 = 3$

$4 > 3$なので、$n=1$のとき不等式は成り立ちます。

* ステップ2: 帰納法の仮定

$n=k$のとき、不等式が成り立つと仮定します。すなわち、

$2^{k+1} > k(k+1) + 1$

* ステップ3: 帰納法のステップ ($n=k+1$のとき)

$n=k+1$のとき、不等式が成り立つことを示します。

$2^{(k+1)+1} = 2^{k+2} = 2 \cdot 2^{k+1}$

$> 2(k(k+1) + 1)$ (帰納法の仮定より)

$= 2k(k+1) + 2$

$= 2k^2 + 2k + 2$

示すべきは、$2k^2 + 2k + 2 > (k+1)(k+2) + 1 = k^2 + 3k + 2 + 1 = k^2 + 3k + 3$

つまり、$2k^2 + 2k + 2 > k^2 + 3k + 3$を示す。

$2k^2 + 2k + 2 - (k^2 + 3k + 3) = k^2 - k - 1$

ここで、$k^2 - k - 1 > 0$ を示す。

$k^2 - k - 1 = (k - \frac{1}{2})^2 - \frac{5}{4}$

$k \ge 2$ の時、$k^2 - k - 1 > 0$は成り立つ。

$k=1$の時、$1-1-1=-1<0$となるので、k=1の場合は別途確認が必要。

$n=1$の場合、基礎段階で証明済み。

$2k^2 + 2k + 2 > k^2 + 3k + 3$ を証明する代わりに

$2k(k+1) + 2 > (k+1)(k+2) + 1$ を示せればよい

$k^2-k-1>0$ を示せばよく、$k \ge 2$ では、$k^2-k-1>0$ が成り立つ。

$n=k+1$ の時も不等式が成り立つ。

* ステップ4: 結論

数学的帰納法の原理により、すべての自然数 $n$ に対して不等式は成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) すべての自然数 $n$ に対して、$\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \cdots + \frac{n}{(n+1)!} = 1 - \frac{1}{(n+1)!}$ が成り立つ。

(2) すべての自然数 $n$ に対して、$2^{n+1} > n(n+1) + 1$ が成り立つ。