(4) $\omega + \overline{\omega}$ を計算する問題。ただし、$\omega$ は 1 の虚立方根である。 (5) $\frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega^2} + \frac{1}{i} + i^7 + i^8 + \omega^9$ を計算する問題。ただし、$\omega$ は 1 の虚立方根、$i$ は虚数単位である。

1. 問題の内容

(4) $\omega + \overline{\omega}$ を計算する問題。ただし、$\omega$ は 1 の虚立方根である。

(5) $\frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega^2} + \frac{1}{i} + i^7 + i^8 + \omega^9$ を計算する問題。ただし、$\omega$ は 1 の虚立方根、$i$ は虚数単位である。

2. 解き方の手順

(4) $\omega$ は 1 の虚立方根なので、$\omega = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$ または $\omega = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2}$である。$\overline{\omega}$ は $\omega$ の複素共役なので、$\omega = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$ のとき $\overline{\omega} = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2}$、$\omega = \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2}$ のとき $\overline{\omega} = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$ となる。いずれの場合も、$\omega + \overline{\omega} = -1$ となる。

(5) まず、$\omega$ が 1 の虚立方根であることから、$\omega^3 = 1$, $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ が成り立つ。また、$i$ は虚数単位なので、$i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$ が成り立つ。

$\frac{1}{\omega} = \frac{\omega^2}{\omega^3} = \omega^2$

$\frac{1}{\omega^2} = \frac{\omega}{\omega^3} = \omega$

$\frac{1}{i} = \frac{i^3}{i^4} = -i$

$i^7 = i^{4+3} = i^3 = -i$

$i^8 = (i^4)^2 = 1^2 = 1$

$\omega^9 = (\omega^3)^3 = 1^3 = 1$

したがって、

$\frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega^2} + \frac{1}{i} + i^7 + i^8 + \omega^9 = \omega^2 + \omega + (-i) + (-i) + 1 + 1 = \omega^2 + \omega + 1 - 2i + 1 = 0 - 2i + 1 = 1 - 2i$.

3. 最終的な答え

(4) $\omega + \overline{\omega} = -1$

(5) $\frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega^2} + \frac{1}{i} + i^7 + i^8 + \omega^9 = 1 - 2i$