与えられた2つの4x4行列Aの行列式$|A|$を計算します。

1. 問題の内容

与えられた2つの4x4行列Aの行列式$|A|$を計算します。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 9 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$ の行列式を計算します。

まず、1行目で余因子展開します。

$|A| = 0 \cdot C_{11} + 9 \cdot C_{12} + 0 \cdot C_{13} + 1 \cdot C_{14} = 9 \cdot C_{12} + C_{14}$

ここで、$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$ であり、$C_{14} = (-1)^{1+4} \begin{vmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 0 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$ です。

$C_{12}$の行列式を2行目で余因子展開すると、

$C_{12} = (-1)^3 [2(0-(-2)) - 3(0-(-1)) + 0] = -[2(2) - 3(1)] = -[4-3] = -1$

よって、$9C_{12} = -9$

$C_{14}$の行列式を2行目で余因子展開すると、

$C_{14} = (-1)^5 [0 - 4(4-3) + 0] = -[0 - 4(1) + 0] = -[-4] = 4$

したがって、$|A| = 9(-1) + 4 = -9 + 4 = -5$

(2) 行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 \\ 2 & -5 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 1 & 0 \\ -2 & 3 & -3 & 1 \end{pmatrix}$ の行列式を計算します。

1行目で余因子展開します。

$|A| = 1 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{12} + 3 \cdot C_{13} + 1 \cdot C_{14} = C_{11} + 3C_{13} + C_{14}$

$C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} -5 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 0 \\ 3 & -3 & 1 \end{vmatrix} = -5(1-0) - 0(4-0) + 1(-12-3) = -5 - 15 = -20$

$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 2 & -5 & 1 \\ 0 & 4 & 0 \\ -2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 2(4-0) - (-5)(0-0) + 1(0-(-8)) = 8 + 8 = 16$

$C_{14} = (-1)^{1+4} \begin{vmatrix} 2 & -5 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \\ -2 & 3 & -3 \end{vmatrix} = -[2(-12-3) - (-5)(0-(-2)) + 0(0-(-8))] = -[2(-15) + 5(2)] = -[-30+10] = -[-20] = 20$

$|A| = -20 + 3(16) + 20 = -20 + 48 + 20 = 48$

3. 最終的な答え

(1)の答え: -5

(2)の答え: 48