## 問題の解答

## 問題の解答

### (1) 問題の内容

与えられた5x5行列 A の行列式 $|A|$ を計算します。

$A = \begin{pmatrix}

-2 & 1 & -1 & 5 & 1 \\

2 & 0 & 3 & 0 & 1 \\

2 & 4 & -3 & -1 & 1 \\

-1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\

1 & 5 & 2 & -5 & 1

\end{pmatrix}$

### (1) 解き方の手順

行列式を計算する最も効率的な方法の一つは、行または列に関して余因子展開を行うことです。4行目には多くのゼロが含まれているため、4行目に関して余因子展開を行います。

$|A| = (-1)^{4+1} (-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 & 5 & 1 \\ 0 & 3 & 0 & 1 \\ 4 & -3 & -1 & 1 \\ 5 & 2 & -5 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{4+4} (1) \begin{vmatrix} -2 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & -3 & 1 \\ 1 & 5 & 2 & 0 \end{vmatrix}$

最初の4x4行列をB、二番目の4x4行列をCとすると、

$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 5 & 1 \\ 0 & 3 & 0 & 1 \\ 4 & -3 & -1 & 1 \\ 5 & 2 & -5 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} -2 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & -3 & 1 \\ 1 & 5 & 2 & 0 \end{vmatrix} = |B| + |C|$

4x4行列の行列式を計算します。

$|B| = 1 \begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 \\ -3 & -1 & 1 \\ 2 & -5 & 1 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 4 & -1 & 1 \\ 5 & -5 & 1 \end{vmatrix} + 5 \begin{vmatrix} 0 & 3 & 1 \\ 4 & -3 & 1 \\ 5 & 2 & 1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 0 & 3 & 0 \\ 4 & -3 & -1 \\ 5 & 2 & -5 \end{vmatrix}$

$= (3(-1+5) -0 + 1(15+2)) + (0 - 0 + 1(-20+5)) + 5 (0 - 3(4-5) + 1(8+15)) - (0 - 3(-20+5) + 0)$

$= (12+17) + (-15) + 5(3+23) - (45)$

$= 29 - 15 + 130 - 45 = 99$

$|C| = 1 \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 4 & -3 & 1 \end{vmatrix} - 5 \begin{vmatrix} -2 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{vmatrix} - 0$

$= 1(1(3+3)+1(-12)) -5(-2(3+3)+1(2-2)+1(-6-6))+2(-2(-4)+1(2-2)+1(8))$

$= (6-12) - 5(-12-12) + 2(8+8)$

$= -6 -5(-24) + 2(16)$

$= -6 + 120 + 32 = 146$

$|A| = |B| + |C| = 99 + 146 = 245$

### (1) 最終的な答え

245

### (2) 問題の内容

与えられた5x5行列 A の行列式 $|A|$ を計算します。

$A = \begin{pmatrix}

3 & -1 & 1 & 3 & 2 \\

-2 & -1 & 2 & 3 & -1 \\

-1 & 1 & 7 & 2 & 3 \\

-1 & 2 & 3 & 1 & -1 \\

2 & 1 & 2 & 1 & 1

\end{pmatrix}$

### (2) 解き方の手順

まず、行列を簡略化するために行演算を使用します。 行列式は、行を別の行の倍数で加算または減算しても変更されません。

1. 5行目を使用し、他の行からそれの倍数を引いて、行列を簡略化します。

$R_1 \rightarrow R_1 - 2R_5$

$R_2 \rightarrow R_2 + R_5$

$R_3 \rightarrow R_3 - 3R_5$

$R_4 \rightarrow R_4 + R_5$

新しい行列は次のようになります。

$\begin{pmatrix}

-1 & -3 & -3 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 4 & 4 & 0 \\

-7 & -2 & 1 & -1 & 0 \\

1 & 3 & 5 & 2 & 0 \\

2 & 1 & 2 & 1 & 1

\end{pmatrix}$

5列に関して余因子展開を行います。

$|A| = 1 * (-1)^{5+5} \begin{vmatrix} -1 & -3 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 4 \\ -7 & -2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 5 & 2 \end{vmatrix}$

$|A| = \begin{vmatrix} -1 & -3 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 4 \\ -7 & -2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 5 & 2 \end{vmatrix}$

2行目に注目し、4で割り、3列目から引きます。

$|A| = 4\cdot4 \begin{vmatrix} -1 & -3 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ -7 & -2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 5 & 2 \end{vmatrix}$

$|A| = 16 \begin{vmatrix} -1 & -3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -7 & -2 & 0 & -1 \\ 1 & 3 & 2 & 2 \end{vmatrix}$

3列に関して余因子展開を行います。

$|A| = 16 \cdot 2 \cdot (-1)^{4+3} \begin{vmatrix} -1 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -7 & -2 & -1 \end{vmatrix} = -32 \begin{vmatrix} -1 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -7 & -2 & -1 \end{vmatrix}$

2行目に関して余因子展開を行います。

$|A| = -32 \cdot 1 \cdot (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} -1 & -3 \\ -7 & -2 \end{vmatrix} = 32 \begin{vmatrix} -1 & -3 \\ -7 & -2 \end{vmatrix} = 32(2-21) = 32 \cdot (-19) = -608$

### (2) 最終的な答え

-608