関数 $y = 2x^2 + 6x + 4$ の $-2 \le x \le 1$ の範囲における最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を答える。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 + 6x + 4$ の $-2 \le x \le 1$ の範囲における最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を答える。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 + 6x + 4 = 2(x^2 + 3x) + 4$

$y = 2\left(x^2 + 3x + \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2\right) + 4$

$y = 2\left(\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4}\right) + 4$

$y = 2\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{2} + 4$

$y = 2\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{1}{2}$

この式から、頂点の座標は $\left(-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}\right)$ であることがわかります。

また、$x^2$ の係数が正であることから、このグラフは下に凸な放物線です。

定義域は $-2 \le x \le 1$ です。頂点の $x$ 座標は $-\frac{3}{2}$ であり、これは $-2 \le x \le 1$ の範囲に含まれます。

よって、$x = -\frac{3}{2}$ のとき、最小値 $-\frac{1}{2}$ をとります。

次に、最大値を求めます。

定義域の端点である $x = -2$ と $x = 1$ での $y$ の値を比較します。

$x = -2$ のとき、

$y = 2(-2)^2 + 6(-2) + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$

$x = 1$ のとき、

$y = 2(1)^2 + 6(1) + 4 = 2 + 6 + 4 = 12$

したがって、$x = 1$ で最大値 $12$ をとります。

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 12

ウ: -3/2

エ: -1/2