与えられた複素数の平方根 $\sqrt{-3\sqrt{-15}}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた複素数の平方根 $\sqrt{-3\sqrt{-15}}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{-15}$ を $i$ を用いて表します。

$\sqrt{-15} = \sqrt{15}i$ となります。

次に、与えられた式に代入します。

$\sqrt{-3\sqrt{-15}} = \sqrt{-3\sqrt{15}i} = \sqrt{-3\sqrt{15}i}$

ここで複素数の平方根を計算するために、

$\sqrt{a+bi} = x+yi$ とおき、両辺を2乗します。

$a+bi = (x+yi)^2 = x^2 + 2xyi - y^2 = (x^2 - y^2) + 2xyi$

この問題では、$a=0$ と $b = -3\sqrt{15}$ なので、以下の連立方程式が得られます。

$x^2 - y^2 = 0$

$2xy = -3\sqrt{15}$

$x^2 - y^2 = 0$ より、 $x^2 = y^2$ なので、$x = y$ または $x = -y$ となります。

$2xy = -3\sqrt{15}$ より、$x$ と $y$ は異符号なので、$x = -y$ の場合を考えます。

$2x(-x) = -3\sqrt{15}$

$-2x^2 = -3\sqrt{15}$

$x^2 = \frac{3\sqrt{15}}{2}$

$x = \pm\sqrt{\frac{3\sqrt{15}}{2}}$

したがって、$x = \sqrt{\frac{3\sqrt{15}}{2}}$ のとき、$y = -\sqrt{\frac{3\sqrt{15}}{2}}$ となります。

また、$x = -\sqrt{\frac{3\sqrt{15}}{2}}$ のとき、$y = \sqrt{\frac{3\sqrt{15}}{2}}$ となります。

したがって、答えは$\pm \left(\sqrt{\frac{3\sqrt{15}}{2}} - i\sqrt{\frac{3\sqrt{15}}{2}}\right)$となります。

画像の問題の答えとして、

$\sqrt{-3\sqrt{-15}} = \sqrt{-3 \sqrt{15}i}$ を計算します。

$\sqrt{15} \approx 3.873$ なので、$-3\sqrt{15}i \approx -11.619i$

$\sqrt{-11.619i}$ を計算します。

$x^2 - y^2 = 0$

$2xy = -11.619$

$x^2 = y^2$ より $x = \pm y$

$x = y$ の場合、$2x^2 = -11.619$ となり、$x$ は実数ではないので不適。

$x = -y$ の場合、$2x(-x) = -11.619$ より $-2x^2 = -11.619$ となり、$x^2 = 5.8095$ より $x = \pm \sqrt{5.8095} \approx \pm 2.41$

$x \approx 2.41$ の場合、$y \approx -2.41$ なので、$2.41 - 2.41i$

$x \approx -2.41$ の場合、$y \approx 2.41$ なので、$-2.41 + 2.41i$

3. 最終的な答え

$\sqrt{\frac{3\sqrt{15}}{2}} - i\sqrt{\frac{3\sqrt{15}}{2}}$

または

$-\sqrt{\frac{3\sqrt{15}}{2}} + i\sqrt{\frac{3\sqrt{15}}{2}}$