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与えられた複素数の割り算 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-14}}$ を計算します。

代数学複素数割り算有理化虚数
2025/6/25

1. 問題の内容

与えられた複素数の割り算 2−14\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-14}} を計算します。

2. 解き方の手順

まず、−14\sqrt{-14} を虚数単位 ii を用いて書き換えます。
−14=14i\sqrt{-14} = \sqrt{14}i
したがって、与えられた式は次のようになります。
2−14=214i\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-14}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{14}i}
分母の有理化を行うために、分母と分子に −i-i を掛けます。
214i=2×(−i)14i×(−i)=−2i14(−i2)=−2i14\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{14}i} = \frac{\sqrt{2} \times (-i)}{\sqrt{14}i \times (-i)} = \frac{-\sqrt{2}i}{\sqrt{14}(-i^2)} = \frac{-\sqrt{2}i}{\sqrt{14}}
ここで、i2=−1i^2 = -1 を利用しました。
さらに、14=2×7=27\sqrt{14} = \sqrt{2 \times 7} = \sqrt{2}\sqrt{7} であるから、
−2i14=−2i27=−i7\frac{-\sqrt{2}i}{\sqrt{14}} = \frac{-\sqrt{2}i}{\sqrt{2}\sqrt{7}} = \frac{-i}{\sqrt{7}}
分母の有理化を行うために、分母と分子に7\sqrt{7}を掛けます。
−i7=−i777=−7i7=−77i\frac{-i}{\sqrt{7}} = \frac{-i\sqrt{7}}{\sqrt{7}\sqrt{7}} = \frac{-\sqrt{7}i}{7} = -\frac{\sqrt{7}}{7}i

3. 最終的な答え

−77i-\frac{\sqrt{7}}{7}i

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