$A$ を $m \times n$ 行列、$B$ を $n \times m$ 行列とするとき、$m > n$ ならば、$AB$ は正則でないことを示す問題です。

1. 問題の内容

$A$ を $m \times n$ 行列、$B$ を $n \times m$ 行列とするとき、$m > n$ ならば、$AB$ は正則でないことを示す問題です。

2. 解き方の手順

$A$ は $m \times n$ 行列、$B$ は $n \times m$ 行列なので、$AB$ は $m \times m$ 行列となります。

$m > n$ のとき、$A$ の列ベクトルの数は $n$ です。従って、$A$ の像の次元 (rank) は最大でも $n$ です。

同様に、$B$ の行ベクトルの数は $n$ です。従って、$B$ の像の次元 (rank) は最大でも $n$ です。

$A : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$

$B : \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n$

したがって、$AB : \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^m$

$\text{rank}(AB) \le \min\{\text{rank}(A), \text{rank}(B)\}$ が成り立ちます。

$\text{rank}(A) \le n$ かつ $\text{rank}(B) \le n$ なので、$\text{rank}(AB) \le n$ となります。

今、$AB$ は $m \times m$ 行列であり、$m > n$ であるので、$\text{rank}(AB) < m$ です。

$\text{rank}(AB) < m$ であるならば、$AB$ は full rank ではないので、正則ではありません。

3. 最終的な答え

$m > n$ ならば $AB$ は正則ではない。