与えられた複素数の平方根 $\sqrt{-2\sqrt{-12}}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた複素数の平方根 $\sqrt{-2\sqrt{-12}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{-12}$ を簡略化します。

$\sqrt{-12} = \sqrt{12} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{4 \cdot 3}i = 2\sqrt{3}i$

次に、与えられた式に代入します。

$\sqrt{-2\sqrt{-12}} = \sqrt{-2(2\sqrt{3}i)} = \sqrt{-4\sqrt{3}i}$

ここで、$z = -4\sqrt{3}i$ とします。$z$ の平方根を $a+bi$ とおくと、

$(a+bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2 = -4\sqrt{3}i$

したがって、$a^2 - b^2 = 0$ かつ $2ab = -4\sqrt{3}$ となります。

$a^2 = b^2$ より、$a = b$ または $a = -b$。

もし $a = b$ ならば、$2a^2 = -4\sqrt{3}$ となり、$a^2 = -2\sqrt{3}$ ですが、$a$ は実数なのでこれはありえません。

したがって、$a = -b$。このとき、$2ab = -2a^2 = -4\sqrt{3}$ より、$a^2 = 2\sqrt{3}$。

よって、$a = \pm \sqrt{2\sqrt{3}} = \pm \sqrt{2}\sqrt[4]{3}$。

$b = -a$ なので、$b = \mp \sqrt{2\sqrt{3}} = \mp \sqrt{2}\sqrt[4]{3}$。

したがって、平方根は $\pm (\sqrt{2}\sqrt[4]{3} - \sqrt{2}\sqrt[4]{3}i)$ です。

$\sqrt{-4\sqrt{3}i} = \sqrt{2}\sqrt[4]{3}(1 - i)$ または $-\sqrt{2}\sqrt[4]{3}(1 - i) = -\sqrt{2}\sqrt[4]{3}(1 - i)$

簡略化された表記法を使用すると $\sqrt{2}\sqrt[4]{3} - i\sqrt{2}\sqrt[4]{3}$.

$\sqrt{-2\sqrt{-12}} = \sqrt{-2(2\sqrt{3}i)} = \sqrt{-4\sqrt{3}i} = \sqrt{2}\sqrt[4]{3}(1-i)$ または $-\sqrt{2}\sqrt[4]{3}(1-i)$.

通常、正の方を答えます。

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}\sqrt[4]{3} - i\sqrt{2}\sqrt[4]{3}$