与えられた式 $\sqrt{-2\sqrt{-12}}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt{-2\sqrt{-12}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{-12}$ を計算します。

$\sqrt{-12} = \sqrt{12} \times \sqrt{-1} = \sqrt{4 \times 3} \times i = 2\sqrt{3}i$

ここで、$i$ は虚数単位であり、$i^2 = -1$ です。

次に、$-2\sqrt{-12}$ を計算します。

$-2\sqrt{-12} = -2(2\sqrt{3}i) = -4\sqrt{3}i$

最後に、$\sqrt{-2\sqrt{-12}}$ を計算します。

$\sqrt{-2\sqrt{-12}} = \sqrt{-4\sqrt{3}i} = \sqrt{4\sqrt{3}(-i)} = 2\sqrt{\sqrt{3}(-i)}$

ここで、$z = \sqrt{\sqrt{3}(-i)}$ とおきます。

$z^2 = -\sqrt{3}i$

$z = a+bi$ ($a, b$は実数)とおくと、

$(a+bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2 = (a^2-b^2) + 2abi = -\sqrt{3}i$

したがって、

$a^2 - b^2 = 0$

$2ab = -\sqrt{3}$

$a^2 = b^2$ より、$a = b$ または $a = -b$

$2ab = -\sqrt{3}$ なので、$a$ と $b$ は異符号であることがわかります。つまり、$a = -b$は不適。

$a$と$b$が異符号なので、$b<0$ のとき $a>0$、$b>0$ のとき $a<0$

$a = -b$ のとき、$a^2 - (-a)^2 = a^2 - a^2 = 0$

$2ab = 2a(-a) = -2a^2 = -\sqrt{3}$

$a^2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$a = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2\sqrt{3}}}{2}$

$a = \frac{\sqrt{2\sqrt{3}}}{2}$とすると、$b = -\frac{\sqrt{2\sqrt{3}}}{2}$

$a = -\frac{\sqrt{2\sqrt{3}}}{2}$とすると、$b = \frac{\sqrt{2\sqrt{3}}}{2}$

$\sqrt{-4\sqrt{3}i} = \pm 2(\frac{\sqrt{2\sqrt{3}}}{2} - \frac{\sqrt{2\sqrt{3}}}{2}i) = \pm (\sqrt{2\sqrt{3}} - i\sqrt{2\sqrt{3}})$

より簡単な解き方:

$\sqrt{-2\sqrt{-12}} = \sqrt{-2\sqrt{12}i} = \sqrt{-2(2\sqrt{3})i} = \sqrt{-4\sqrt{3}i}$

$= \sqrt{4\sqrt{3}(-i)}$

$\sqrt{-4\sqrt{3}i} = \sqrt{4\sqrt{3}} \sqrt{-i}$

$\sqrt{4\sqrt{3}} = 2\sqrt[4]{3}$

$\sqrt{-i} = \sqrt{e^{i\frac{3\pi}{2}}} = e^{i\frac{3\pi}{4}} = \cos(\frac{3\pi}{4}) + i \sin(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$

$= 2\sqrt[4]{3}(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\sqrt{2}\sqrt[4]{3} + i\sqrt{2}\sqrt[4]{3} = -\sqrt{2\sqrt{3}} + i\sqrt{2\sqrt{3}}$

$\sqrt{-2\sqrt{-12}} = \sqrt{-2\cdot 2i\sqrt{3}} = \sqrt{-4i\sqrt{3}}$

$(\pm(a+bi))^2 = -4i\sqrt{3}$

$a^2-b^2 + 2abi = -4i\sqrt{3}$

$a^2=b^2$ and $2ab=-4\sqrt{3}$

$a=-b$ $-> -2a^2 = -4\sqrt{3}$ -> $a = sqrt{2sqrt{3}} -> b=-sqrt{2sqrt{3}}$

So $\sqrt{-2\sqrt{-12}} = \sqrt{2\sqrt{3}} - i\sqrt{2\sqrt{3}}$.

3. 最終的な答え

$\sqrt{2\sqrt{3}}-i\sqrt{2\sqrt{3}}$