2つの2次方程式 $x^2 + 3x + 2m = 0$ と $x^2 + 2x + m = 0$ が共通の解を持つとき、その共通の解と定数 $m$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2つの2次方程式 $x^2 + 3x + 2m = 0$ と $x^2 + 2x + m = 0$ が共通の解を持つとき、その共通の解と定数 $m$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

共通の解を $\alpha$ とすると、以下の2つの式が成り立つ。

$$\alpha^2 + 3\alpha + 2m = 0 \quad (1)$$

$$\alpha^2 + 2\alpha + m = 0 \quad (2)$$

(1) - (2) を計算すると、

$$(\alpha^2 + 3\alpha + 2m) - (\alpha^2 + 2\alpha + m) = 0$$

$$\alpha + m = 0 \quad (3)$$

よって、

$$m = -\alpha$$

これを (2) に代入すると、

$$\alpha^2 + 2\alpha - \alpha = 0$$

$$\alpha^2 + \alpha = 0$$

$$\alpha(\alpha + 1) = 0$$

よって、$\alpha = 0$ または $\alpha = -1$

(i) $\alpha = 0$ のとき

$m = -\alpha = 0$

このとき、2つの2次方程式はそれぞれ $x^2 + 3x = 0$ と $x^2 + 2x = 0$ となり、共通解は $x=0$ である。

(ii) $\alpha = -1$ のとき

$m = -\alpha = -(-1) = 1$

このとき、2つの2次方程式はそれぞれ $x^2 + 3x + 2 = 0$ と $x^2 + 2x + 1 = 0$ となる。

$x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2) = 0$ より $x=-1, -2$

$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 = 0$ より $x=-1$

共通解は $x=-1$ である。

3. 最終的な答え

$m = 0$ のとき、共通の解は $0$

$m = 1$ のとき、共通の解は $-1$