1個100gを基準に製造された石けん100個を無作為抽出し調査したところ、その平均は98.5gであった。製造された石けん全体の重さの標準偏差が4gであるとき、標本調査の結果から、石けんの重さは平均100gではないと判断できるかを有意水準5%で両側検定せよ。

1. 問題の内容

1個100gを基準に製造された石けん100個を無作為抽出し調査したところ、その平均は98.5gであった。製造された石けん全体の重さの標準偏差が4gであるとき、標本調査の結果から、石けんの重さは平均100gではないと判断できるかを有意水準5%で両側検定せよ。

2. 解き方の手順

この問題は仮説検定の問題です。帰無仮説と対立仮説を立て、検定統計量を計算し、有意水準と比較することで結論を導きます。

* 帰無仮説: 石けんの平均重量は100gである。 ($H_0: \mu = 100$)

* 対立仮説: 石けんの平均重量は100gではない。 ($H_1: \mu \neq 100$)

ここで、$\mu$は母平均を表します。

検定統計量$t$を計算します。標本平均$\bar{x}$、母集団の標準偏差$\sigma$、標本サイズ$n$を使って、次の式で計算します。

$$$$

t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}

$$$$

ここで、$\mu_0$は帰無仮説における平均値です。

問題文から、$\bar{x} = 98.5$g, $\mu_0 = 100$g, $\sigma = 4$g, $n = 100$なので、

$$$$

t = \frac{98.5 - 100}{\frac{4}{\sqrt{100}}} = \frac{-1.5}{\frac{4}{10}} = \frac{-1.5}{0.4} = -3.75

$$$$

有意水準は5%であり、両側検定なので、棄却域は$t < -t_{\alpha/2, n-1}$ または $t > t_{\alpha/2, n-1}$です。ここで、$\alpha = 0.05$であり、$n-1 = 99$です。自由度99のt分布における$\alpha/2=0.025$の臨界値を求めると、約1.984となります。

（正確な値を求めるにはt分布表を参照するか、統計ソフトを使用します。）

したがって、棄却域は $t < -1.984$ または $t > 1.984$ です。

計算した検定統計量$t = -3.75$ は、 $-3.75 < -1.984$であるため、棄却域に入ります。

したがって、帰無仮説は棄却されます。

3. 最終的な答え

有意水準5%で両側検定を行った結果、石けんの重さは平均100gではないと判断できます。