赤玉と白玉が合わせて8個入った袋がある。この袋の中から2個の玉を同時に取り出すとき、赤玉が出ない確率（つまり、2個とも白玉が出る確率）が $\frac{5}{14}$ であるという。袋の中に白玉は何個入っているかを求める問題です。

1. 問題の内容

赤玉と白玉が合わせて8個入った袋がある。この袋の中から2個の玉を同時に取り出すとき、赤玉が出ない確率（つまり、2個とも白玉が出る確率）が $\frac{5}{14}$ であるという。袋の中に白玉は何個入っているかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、袋の中の白玉の個数を $x$ とします。すると、赤玉の個数は $8-x$ となります。

袋から2個の玉を取り出す組み合わせの総数は、$_{8}C_{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ 通りです。

2個とも白玉を取り出す組み合わせの数は、$_{x}C_{2} = \frac{x(x-1)}{2}$ 通りです。

したがって、2個とも白玉を取り出す確率は、$\frac{_{x}C_{2}}{_{8}C_{2}} = \frac{\frac{x(x-1)}{2}}{28} = \frac{x(x-1)}{56}$ となります。

問題文より、この確率が $\frac{5}{14}$ であるから、

$\frac{x(x-1)}{56} = \frac{5}{14}$

$x(x-1) = \frac{5}{14} \times 56 = 5 \times 4 = 20$

$x^{2} - x = 20$

$x^{2} - x - 20 = 0$

$(x-5)(x+4) = 0$

$x=5, -4$

白玉の個数は正の整数なので、$x=5$ となります。

3. 最終的な答え

袋の中の白玉は5個です。