60人の生徒に2種類の本a, bを読んだことがあるかどうかを聞いたところ、aを読んだ生徒が30人、bを読んだ生徒が50人、aもbも読んでいない生徒が8人いた。以下の人数を求める。 (1) aとbの少なくとも一方を読んだ生徒 (2) 2種類とも読んだ生徒 (3) bは読んだが、aは読んでいない生徒

1. 問題の内容

60人の生徒に2種類の本a, bを読んだことがあるかどうかを聞いたところ、aを読んだ生徒が30人、bを読んだ生徒が50人、aもbも読んでいない生徒が8人いた。以下の人数を求める。

(1) aとbの少なくとも一方を読んだ生徒

(2) 2種類とも読んだ生徒

(3) bは読んだが、aは読んでいない生徒

2. 解き方の手順

全体集合をU, aを読んだ生徒の集合をA, bを読んだ生徒の集合をBとする。

与えられた情報は以下の通り。

全体の人数: $|U| = 60$

aを読んだ生徒の人数: $|A| = 30$

bを読んだ生徒の人数: $|B| = 50$

aもbも読んでいない生徒の人数: $|A^c \cap B^c| = 8$

(1) aとbの少なくとも一方を読んだ生徒の人数 $|A \cup B|$ を求める。

$|A \cup B| = |U| - |(A \cup B)^c| = |U| - |A^c \cap B^c|$

$|A \cup B| = 60 - 8 = 52$

(2) 2種類とも読んだ生徒の人数 $|A \cap B|$ を求める。

包除原理より、

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

$52 = 30 + 50 - |A \cap B|$

$|A \cap B| = 30 + 50 - 52 = 80 - 52 = 28$

(3) bは読んだが、aは読んでいない生徒の人数 $|B \cap A^c|$ を求める。

$|B \cap A^c| = |B| - |A \cap B|$

$|B \cap A^c| = 50 - 28 = 22$

3. 最終的な答え

(1) aとbの少なくとも一方を読んだ生徒：52人

(2) 2種類とも読んだ生徒：28人

(3) bは読んだが、aは読んでいない生徒：22人