3つの袋A, B, Cがあり、それぞれに赤球と白球が入っている。a, b, cの3人がそれぞれA, B, Cの袋から球を1つ取り出す。赤球を取り出した人が賞品をもらえるとき、以下の確率を求める問題。 (1) aとbは賞品をもらい、cはもらえない確率 (2) ちょうど2人が賞品をもらう確率 (3) ちょうど2人が賞品をもらったとき、aが賞品をもらっている条件付き確率

1. 問題の内容

3つの袋A, B, Cがあり、それぞれに赤球と白球が入っている。a, b, cの3人がそれぞれA, B, Cの袋から球を1つ取り出す。赤球を取り出した人が賞品をもらえるとき、以下の確率を求める問題。

(1) aとbは賞品をもらい、cはもらえない確率

(2) ちょうど2人が賞品をもらう確率

(3) ちょうど2人が賞品をもらったとき、aが賞品をもらっている条件付き確率

2. 解き方の手順

(1)

aが賞品をもらう確率は、袋Aから赤球を取り出す確率なので、$\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$。

bが賞品をもらう確率は、袋Bから赤球を取り出す確率なので、$\frac{1}{5}$。

cが賞品をもらわない確率は、袋Cから白球を取り出す確率なので、$\frac{7}{10}$。

よって、aとbは賞品をもらい、cはもらえない確率は、

$\frac{1}{4} \times \frac{1}{5} \times \frac{7}{10} = \frac{7}{200}$。

(2)

ちょうど2人が賞品をもらう確率は、以下の3つの場合に分けて考える。

(i) aとbは賞品をもらい、cはもらえない。

(ii) aとcは賞品をもらい、bはもらえない。

(iii) bとcは賞品をもらい、aはもらえない。

(i)の確率は(1)で求めた通り$\frac{7}{200}$。

(ii) aが賞品をもらう確率は$\frac{1}{4}$。cが賞品をもらう確率は$\frac{3}{10}$。bが賞品をもらわない確率は$\frac{4}{5}$。

よって確率は、$\frac{1}{4} \times \frac{3}{10} \times \frac{4}{5} = \frac{12}{200} = \frac{3}{50}$。

(iii) bが賞品をもらう確率は$\frac{1}{5}$。cが賞品をもらう確率は$\frac{3}{10}$。aが賞品をもらわない確率は$\frac{3}{4}$。

よって確率は、$\frac{1}{5} \times \frac{3}{10} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{200}$。

したがって、ちょうど2人が賞品をもらう確率は、

$\frac{7}{200} + \frac{12}{200} + \frac{9}{200} = \frac{28}{200} = \frac{7}{50}$。

(3)

ちょうど2人が賞品をもらったとき、aが賞品をもらっている条件付き確率を求める。

これは、aが賞品をもらっている場合の確率を、ちょうど2人が賞品をもらう確率で割ればよい。

aが賞品をもらっているのは(i)と(ii)の場合なので、確率は$\frac{7}{200} + \frac{12}{200} = \frac{19}{200}$。

よって、求める条件付き確率は、

$\frac{\frac{19}{200}}{\frac{28}{200}} = \frac{19}{28}$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7}{200}$

(2) $\frac{7}{50}$

(3) $\frac{19}{28}$