1つのサイコロを3回投げるとき、以下の確率を求めます。 (1) 出た目の積が120になる確率 (2) 出た目の積が140より大きくなる確率

1. 問題の内容

1つのサイコロを3回投げるとき、以下の確率を求めます。

(1) 出た目の積が120になる確率

(2) 出た目の積が140より大きくなる確率

2. 解き方の手順

(1) 目の積が120になる場合を考えます。3つの目の組み合わせを考えます。サイコロの目は1から6までなので、それらの組み合わせで120になるものを探します。

* 120を素因数分解すると、$120 = 2^3 \times 3 \times 5$ となります。

* 可能な組み合わせは、(4, 5, 6)、(3, 5, 8)などですが、8はサイコロの目にはないので、(4, 5, 6)が考えられます。

* (4, 5, 6)の順列は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通りです。

* サイコロを3回投げる場合の総数は $6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216$ 通りです。

* したがって、目の積が120になる確率は、$\frac{6}{216} = \frac{1}{36}$ です。

(2) 目の積が140より大きくなる場合を考えます。 全ての場合から、積が140以下になる場合を引いて考えます。計算が大変なので、直接計算します。

* 目の積が140より大きくなる組み合わせを見つけます。

* (5, 6, 5) -> 積は150

* (5, 6, 6) -> 積は180

* (6, 6, 4) -> 積は144

* (6, 6, 5) -> 積は180

* (6, 6, 6) -> 積は216

* (5, 5, 6) -> 積は150

* 上記の組み合わせの順列を考慮します。

* (5, 6, 5)の順列は $3! / 2! = 3$ 通り

* (5, 6, 6)の順列は $3! / 2! = 3$ 通り

* (6, 6, 4)の順列は $3! / 2! = 3$ 通り

* (6, 6, 5)の順列は $3! / 2! = 3$ 通り

* (6, 6, 6)の順列は $3! / 3! = 1$ 通り

* (5, 5, 6)の順列は $3! / 2! = 3$ 通り

* 目の積が140より大きくなる場合の数は $3 + 3 + 3 + 3 + 1 + 3 = 16$ 通りです。

* したがって、目の積が140より大きくなる確率は、$\frac{16}{216} = \frac{2}{27}$ です。

3. 最終的な答え

(1) 目の積が120になる確率は、$\frac{1}{36}$ です。

(2) 目の積が140より大きくなる確率は、$\frac{2}{27}$ です。