トランプのハートとダイヤのカードが合計10枚ある。このカードから同時に2枚取り出すとき、2枚ともハートである確率が $\frac{1}{3}$ である。このとき、ハートのカードの枚数を求めよ。

1. 問題の内容

トランプのハートとダイヤのカードが合計10枚ある。このカードから同時に2枚取り出すとき、2枚ともハートである確率が $\frac{1}{3}$ である。このとき、ハートのカードの枚数を求めよ。

2. 解き方の手順

ハートのカードの枚数を $n$ とおく。ダイヤのカードの枚数は $10 - n$ である。

カード10枚から2枚を取り出す場合の数は ${}_{10}C_2$ 通りである。

2枚ともハートである場合の数は ${}_{n}C_2$ 通りである。

したがって、2枚ともハートである確率は $\frac{{}_{n}C_2}{{}_{10}C_2} = \frac{1}{3}$ となる。

${}_{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$

${}_{n}C_2 = \frac{n(n-1)}{2}$

よって、$\frac{\frac{n(n-1)}{2}}{45} = \frac{1}{3}$

$\frac{n(n-1)}{2} = \frac{45}{3} = 15$

$n(n-1) = 30$

$n^2 - n - 30 = 0$

$(n-6)(n+5) = 0$

$n = 6, -5$

ハートの枚数は正の整数なので $n = 6$ である。

$n$ は、2枚ともハートを取り出す必要があるので、$n \ge 2$ である必要がある。

$n \le 10$ である必要がある。$n=6$ はこの範囲を満たしている。

3. 最終的な答え

6枚