袋の中に赤球3個、白球7個が入っている。1個取り出し、取り出した球が赤ならば代わりに白球を1つ、白ならば代わりに赤球を1つ袋に入れる。 $n$ 回目に赤球を取り出す確率を $p_n$ とする。 (1) $p_{n+1}$ を $p_n$ の式で表せ。 (2) $p_n$ を $n$ の式で表し、$\lim_{n \to \infty} p_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤球3個、白球7個が入っている。1個取り出し、取り出した球が赤ならば代わりに白球を1つ、白ならば代わりに赤球を1つ袋に入れる。

$n$ 回目に赤球を取り出す確率を $p_n$ とする。

(1) $p_{n+1}$ を $p_n$ の式で表せ。

(2) $p_n$ を $n$ の式で表し、$\lim_{n \to \infty} p_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $n+1$ 回目に赤球を取り出す確率は、以下の2つの場合に分けられる。

* $n$ 回目に赤球を取り出し、代わりに白球を入れた後、$n+1$ 回目に赤球を取り出す。

この確率は $p_n \cdot \frac{2}{10} = \frac{1}{5} p_n$

* $n$ 回目に白球を取り出し、代わりに赤球を入れた後、$n+1$ 回目に赤球を取り出す。

この確率は $(1-p_n) \cdot \frac{4}{10} = \frac{2}{5}(1-p_n)$

したがって、$p_{n+1} = \frac{1}{5} p_n + \frac{2}{5}(1-p_n)$

$p_{n+1} = \frac{1}{5}p_n + \frac{2}{5} - \frac{2}{5}p_n$

$p_{n+1} = -\frac{1}{5} p_n + \frac{2}{5}$

(2) $p_{n+1} = -\frac{1}{5} p_n + \frac{2}{5}$ を変形する。

固定点 $p = -\frac{1}{5}p + \frac{2}{5}$ を解くと、

$\frac{6}{5} p = \frac{2}{5}$

$p = \frac{1}{3}$

したがって、$p_{n+1} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{5} (p_n - \frac{1}{3})$

数列 $\{p_n - \frac{1}{3}\}$ は、初項 $p_1 - \frac{1}{3}$、公比 $-\frac{1}{5}$ の等比数列である。

$p_1 = \frac{3}{10}$ より、

$p_n - \frac{1}{3} = (p_1 - \frac{1}{3}) (-\frac{1}{5})^{n-1} = (\frac{3}{10} - \frac{1}{3})(-\frac{1}{5})^{n-1}$

$p_n - \frac{1}{3} = (-\frac{1}{30})(-\frac{1}{5})^{n-1} = \frac{1}{30} (-\frac{1}{5})^n \cdot (-5)$

$p_n - \frac{1}{3} = -\frac{1}{6} (-\frac{1}{5})^n$

$p_n = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} (-\frac{1}{5})^n$

$\lim_{n \to \infty} p_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3} - \frac{1}{6} (-\frac{1}{5})^n = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $p_{n+1} = -\frac{1}{5} p_n + \frac{2}{5}$

(2) $p_n = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} (-\frac{1}{5})^n$ 、$\lim_{n \to \infty} p_n = \frac{1}{3}$