袋の中に赤玉が3個、白玉が6個入っている。Aが袋から玉を2個同時に取り出し、それらを袋に戻さずに、続けてBが玉を2個同時に取り出す。Bが取り出した玉が2個とも同じ色である確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が3個、白玉が6個入っている。Aが袋から玉を2個同時に取り出し、それらを袋に戻さずに、続けてBが玉を2個同時に取り出す。Bが取り出した玉が2個とも同じ色である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、Aが玉を取り出した後の袋の中の状態を考えます。Aの取り出し方によって、袋の中の赤玉と白玉の個数が変わります。

Aが取り出す玉の組み合わせは、以下の3通りです。

- Aが赤玉2個を取り出す。

- Aが白玉2個を取り出す。

- Aが赤玉1個と白玉1個を取り出す。

それぞれのケースについて、Bが2個とも同じ色の玉を取り出す確率を計算し、それらを足し合わせることで、求める確率を求めます。

**ケース1：Aが赤玉2個を取り出す**

Aが赤玉2個を取り出す確率は、

$P(A=赤赤) = \frac{{}_3C_2}{{}_9C_2} = \frac{3}{\frac{9 \times 8}{2}} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

このとき、袋の中には赤玉1個、白玉6個が残っています。Bが2個とも同じ色の玉を取り出す確率は、

$P(B=同じ色 | A=赤赤) = \frac{{}_1C_2 + {}_6C_2}{{}_7C_2} = \frac{0 + \frac{6 \times 5}{2}}{\frac{7 \times 6}{2}} = \frac{15}{21} = \frac{5}{7}$

**ケース2：Aが白玉2個を取り出す**

Aが白玉2個を取り出す確率は、

$P(A=白白) = \frac{{}_6C_2}{{}_9C_2} = \frac{\frac{6 \times 5}{2}}{36} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$

このとき、袋の中には赤玉3個、白玉4個が残っています。Bが2個とも同じ色の玉を取り出す確率は、

$P(B=同じ色 | A=白白) = \frac{{}_3C_2 + {}_4C_2}{{}_7C_2} = \frac{3 + \frac{4 \times 3}{2}}{21} = \frac{3 + 6}{21} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}$

**ケース3：Aが赤玉1個と白玉1個を取り出す**

Aが赤玉1個と白玉1個を取り出す確率は、

$P(A=赤白) = \frac{{}_3C_1 \times {}_6C_1}{{}_9C_2} = \frac{3 \times 6}{36} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$

このとき、袋の中には赤玉2個、白玉5個が残っています。Bが2個とも同じ色の玉を取り出す確率は、

$P(B=同じ色 | A=赤白) = \frac{{}_2C_2 + {}_5C_2}{{}_7C_2} = \frac{1 + \frac{5 \times 4}{2}}{21} = \frac{1 + 10}{21} = \frac{11}{21}$

**Bが2個とも同じ色の玉を取り出す確率**

$P(B=同じ色) = P(A=赤赤) \times P(B=同じ色 | A=赤赤) + P(A=白白) \times P(B=同じ色 | A=白白) + P(A=赤白) \times P(B=同じ色 | A=赤白)$

$= \frac{1}{12} \times \frac{5}{7} + \frac{5}{12} \times \frac{3}{7} + \frac{1}{2} \times \frac{11}{21}$

$= \frac{5}{84} + \frac{15}{84} + \frac{1}{2} \times \frac{11}{21} = \frac{20}{84} + \frac{11}{42} = \frac{5}{21} + \frac{11}{42} = \frac{10}{42} + \frac{11}{42} = \frac{21}{42} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

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