$x > 0$ のとき、不等式 $\log(1+x) > x + x\log \frac{2}{x+2}$ を証明せよ。

1. 問題の内容

$x > 0$ のとき、不等式 $\log(1+x) > x + x\log \frac{2}{x+2}$ を証明せよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = \log(1+x) - x - x\log \frac{2}{x+2}$ を定義する。

この不等式を示すには、$x > 0$ において $f(x) > 0$ を示せば良い。

$f(0) = \log(1+0) - 0 - 0\log \frac{2}{0+2} = 0$ なので、$x > 0$ において $f'(x) > 0$ を示せばよい。

$f'(x) = \frac{1}{1+x} - 1 - \log \frac{2}{x+2} - x \cdot \frac{x+2}{2} \cdot (-\frac{2}{(x+2)^2})$

$f'(x) = \frac{1}{1+x} - 1 - \log \frac{2}{x+2} + \frac{x}{x+2}$

$f'(x) = \frac{1}{1+x} - 1 - \log \frac{2}{x+2} + \frac{x}{x+2} = \frac{1}{1+x} - \log \frac{2}{x+2} + \frac{x}{x+2} - 1$

$f'(x) = \frac{1}{1+x} + \log \frac{x+2}{2} - \frac{2}{x+2}$

$f'(0) = \frac{1}{1+0} + \log \frac{0+2}{2} - \frac{2}{0+2} = 1 + \log 1 - 1 = 0$

次に、$f''(x)$ を計算する。

$f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2} + \frac{1}{\frac{x+2}{2}} \cdot \frac{1}{2} - (-\frac{2}{(x+2)^2})$

$f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2} + \frac{1}{x+2} + \frac{2}{(x+2)^2}$

$f''(x) = \frac{-(x+2)^2 + (1+x)^2 + 2(1+x)^2}{(1+x)^2(x+2)^2} = \frac{-(x^2+4x+4) + (1+2x+x^2) + 2(1+2x+x^2)}{(1+x)^2(x+2)^2}$

$f''(x) = \frac{-x^2-4x-4 + 1+2x+x^2 + 2+4x+2x^2}{(1+x)^2(x+2)^2} = \frac{2x^2+2x-1}{(1+x)^2(x+2)^2} = \frac{x(2x^2+5x+5)}{(x+1)^2(x+2)^2}$

$f''(x) = \frac{2x^2+2x-1}{(x+1)^2 (x+2)^2}= \frac{x(x^2+5x+5)}{(x+1)^2 (x+2)^2}$

$2x^2+2x-1 = 0$ の解は $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4+8}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$

$x>0$ で $2x^2 +2x-1$ は上に凸な放物線であり、$x>0$で$f''(x)>0$となる。

よって、$x>0$ で $f'(x)$ は増加関数であり、$f'(0) = 0$ より $f'(x) > 0$ である。

したがって、$x>0$ で $f(x)$ は増加関数であり、$f(0) = 0$ より $f(x) > 0$ である。

3. 最終的な答え

$x > 0$ のとき、$\log(1+x) > x + x\log \frac{2}{x+2}$