多項式 $P(x) = x^3 + ax^2 + a^2x - 3$ が $x-1$ で割り切れるような定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 + ax^2 + a^2x - 3$ が $x-1$ で割り切れるような定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$P(x)$ が $x-1$ で割り切れるとき、剰余の定理より $P(1) = 0$ が成り立つ。

したがって、$P(1)$ を計算し、$P(1) = 0$ を満たす $a$ の値を求める。

$P(1) = (1)^3 + a(1)^2 + a^2(1) - 3$

$P(1) = 1 + a + a^2 - 3$

$P(1) = a^2 + a - 2$

$P(1) = 0$ であるから、

$a^2 + a - 2 = 0$

$(a+2)(a-1) = 0$

よって、$a = -2$ または $a = 1$

3. 最終的な答え

$a = -2, 1$