与えられた積分 $\int \frac{x+2}{(4-x)^3} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{x+2}{(4-x)^3} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分分数分解を用いて積分を計算します。

まず、$u = 4 - x$ と置換すると、$x = 4 - u$ であり、$dx = -du$ となります。

したがって、積分は次のように書き換えられます。

$\int \frac{x+2}{(4-x)^3} dx = \int \frac{4-u+2}{u^3} (-du) = -\int \frac{6-u}{u^3} du = -\int (\frac{6}{u^3} - \frac{1}{u^2}) du$

次に、積分を計算します。

$-\int (\frac{6}{u^3} - \frac{1}{u^2}) du = -\int (6u^{-3} - u^{-2}) du = - (6 \frac{u^{-2}}{-2} - \frac{u^{-1}}{-1}) + C = \frac{3}{u^2} - \frac{1}{u} + C$

最後に、$u = 4 - x$ を代入して、元の変数に戻します。

$\frac{3}{(4-x)^2} - \frac{1}{4-x} + C$

$\frac{3 - (4-x)}{(4-x)^2} + C = \frac{x-1}{(4-x)^2} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{x-1}{(4-x)^2} + C$